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Resumen: Tópicos Fundamentais de Matemática (Cap 5-7)

1. Relações Binárias slidesTFM_Cap5.pdf

Una relación binaria $R$ de $A$ en $B$ es cualquier subconjunto del producto cartesiano $A\times B$.

Conceptos Básicos

• Domínio: $\text{Dom}(R)=\{a\in A:\exists b\in B,(a,b)\in R\}$.
• Imagem (Contradomínio): $\text{Im}(R)=\{b\in B:\exists a\in A,(a,b)\in R\}$.
• Relação Inversa: $R^{-1}=\{(b,a)\in B\times A:(a,b)\in R\}$.
• Composição ($S\circ R$): Relaciona $x$ con $y$ si existe un $z$ tal que $(x,z)\in R$ y $(z,y)\in S$.

Propiedades de una Relación en A

1. Reflexiva: $\forall a\in A,(a,a)\in R$.
2. Simétrica: Si $(a,b)\in R$, entonces $(b,a)\in R$.
3. Antissimétrica: Si $(a,b)\in R$ y $(b,a)\in R$, entonces $a=b$.
4. Transitiva: Si $(a,b)\in R$ y $(b,c)\in R$, entonces $(a,c)\in R$.

Fechos (Clausuras)

• Reflexivo ($R^r$): $R\cup i{d}_A$.
• Simétrico ($R^s$): $R\cup R^{-1}$.
• Transitivo ($R^t$): ${\bigcup }_{i\in \mathbb{N}}{R}^i$. Si el conjunto es finito de $n$ elementos, $R^t={\bigcup }_{i=1}^n{R}^i$.

Relação de Equivalência

Es reflexiva, simétrica y transitiva.

• Classe de Equivalência: $[x{]}_R=\{y\in A:xRy\}$.
• Conjunto Quociente ($A/R$): Conjunto de todas las clases de equivalencia, el cual forma una partição de $A$.

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2. Relações de Ordem slidesTFM_Cap6.pdf

• Ordem Parcial: Una relación es de orden parcial si es reflexiva, antissimétrica y transitiva. El par $(A,\le )$ se llama conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.).
• Diagramas de Hasse: Representación gráfica para c.p.o. finitos donde los elementos mayores se dibujan arriba y se conectan si hay una relación de cobertura ($a\ll b$).

Elementos Especiales en $X\subseteq A$

• Maximal / Minimal: No hay elementos en $X$ mayores / menores que ellos.
• Máximo / Mínimo: Un elemento de $X$ que es mayor / menor que todos los demás en $X$.
• Supremo (sup) / Ínfimo (inf): El menor de los majorantes / el mayor de los minorantes de $X$.

Tipos de Orden

• Reticulado: Un c.p.o. donde cada par $\{x,y\}$ tiene supremo ($x\vee y$) e ínfimo ($x\wedge y$).
• Ordem Total (Cadeia): Todos los elementos del conjunto son comparables entre sí.
• Boa Ordem: Un orden total donde cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo.

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3. Cardinalidade de Conjuntos slidesTFM_Cap7.pdf

• Equipotência ($A\sim B$): Existe una función bijetiva entre $A$ y $B$.
• Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein: Si existen aplicaciones injetivas de $A$ en $B$ y de $B$ en $A$, entonces $A\sim B$.
• Conjunto Finito: Es vacío o equipotente a $[n]=\{1,\dots ,n\}$; su cardinal es $n$.
• Conjunto Numerável: Un conjunto $A$ es numerable si $A\sim \mathbb{N}$.
  • Ejemplos numerables: $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, cualquier subconjunto infinito de $\mathbb{N}$.
• Teorema de Cantor: Para cualquier conjunto $A$, su cardinal es estrictamente menor que el de su conjunto potencia: $\#A<\#\mathcal{P}(A)$.
  • $\mathbb{R}$ no es numerable, ya que $\#\mathbb{N}<\#\mathcal{P}(\mathbb{N})=\#\mathbb{R}$.

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Analogía para recordar la estructura

Imagina que las Relaciones Binarias son las reglas de cómo los invitados se saludan en una fiesta.

• Si todos se saludan a sí mismos y se devuelven el saludo, tienes una Equivalencia (forman grupos de amigos).
• Si el saludo implica que uno es “más importante” que el otro y no hay saludos circulares, tienes un Orden (una fila jerárquica para entrar).
• La Cardinalidad simplemente cuenta cuántos invitados hay, distinguiendo si la lista es finita, o tan larga que nunca termina de leerse, como los números naturales o los reales.

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