Cálculo de Diferenciais (Matriz Jacobiana num Ponto)
Quando a notação pede o diferencial num ponto específico , o objetivo é simplesmente calcular a matriz jacobiana genérica e substituir as variáveis pelas coordenadas do ponto.
1. Diferencial de no ponto
Dada a função :
Passo 1: Matriz Jacobiana genérica ()
Passo 2: Avaliar no ponto Substituímos , , :
2. Diferencial de no ponto
Dada a função :
Passo 1: Matriz Jacobiana genérica ()
Passo 2: Avaliar no ponto Substituímos , , :
Exercício 4.3: Matriz Jacobiana de Funções Lineares
Dada a função , que transforma vetores do noutros vetores do .
a) Matriz Jacobiana de
As funções componentes são e . Calculando as derivadas parciais:
- ,
- ,
A matriz jacobiana genérica é:
b) Justificação da Derivabilidade
A função é derivável em todo o porque as suas componentes são polinómios de grau 1 (funções estritamente lineares). As suas derivadas parciais existem e são constantes (logo, perfeitamente contínuas) em todo o domínio. Pelo teorema da diferenciabilidade, como as derivadas parciais são contínuas, a função é diferenciável.
c) Derivada no ponto e Comparação
A derivada (diferencial) da função no ponto é simplesmente a matriz jacobiana avaliada nesse ponto. Como a nossa matriz só tem números constantes, não é afetada pelos valores de e :
Comparação: O que acontece se aplicarmos este diferencial a um vetor genérico ?
Conclusão: O diferencial atua exatamente da mesma forma que a função original. Ou seja, . Isto acontece porque é uma transformação linear. A “melhor aproximação linear” de uma função que já é linear… é ela própria.
d) Diferencial num ponto genérico
Seguindo a mesma lógica da alínea anterior, como a matriz jacobiana não possui variáveis nem , o diferencial é imutável em qualquer ponto do plano: