Integrales

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J. W. Mellor quote

∫ Resumen de Integrales y Primitivas

1. Conceptos Fundamentales

Primitiva

Una función $F:X\to \mathbb{R}$ es una primitiva de $f$ si $F$ es derivable y su derivada es igual a $f$: $F^{\prime }(x)=f(x)$

• Nota: Si $F(x)$ es una primitiva, entonces $F(x)+C$ (donde $C$ es una constante) también lo es.
• Primitivabilidad: Se dice que $f$ es primitivable si admite una primitiva.
  • Ejemplo: Las funciones continuas son primitivables.
  • Contraejemplo: Funciones con discontinuidades de salto pueden no ser primitivables.

Integral Indefinida

El conjunto de todas las primitivas de una función se llama integral indefinida y se denota por: $\int f(x)dx=F(x)+C$

2. Fórmulas de Primitivas Inmediatas

(Basado en el Formulario)

Función $f(x)$	Primitiva $\int f(x)dx$	Condición
Potencias
$a$ (constante)	$ax+C$	$a\in \mathbb{R}$
$x^{\alpha }$	$\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$	$\alpha \ne -1$
$x^{-1}=\frac{1}{x}$	$\ln	x
Exponenciales
$e^x$	$e^x+C$
$a^x$	$\frac{a^x}{\ln a}+C$	$a>0,a\ne 1$
Trigonométricas
$\cos x$	$\sin x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
${\sec }^{2}x$	$\tan x+C$
${\csc }^{2}x$	$-\cot x+C$
Hiperbólicas
$\cosh x$	$\sinh x+C$
$\sinh x$	$\cosh x+C$

Regla Generalizada (Regla de la Cadena Inversa)

Si tenemos una función compuesta $f(x)$ y su derivada interna $f^{\prime }(x)$:

• $\int f^{\prime }(x)[f(x){]}^{\alpha }dx=\frac{[f(x){]}^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$
• $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$
• $\int f^{\prime }(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C$

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3. Métodos de Integración

3.1. Integración por Partes

Primitivas, page 9 Se utiliza cuando el integrando es un producto de funciones de distinta naturaleza (ej. polimomio $\times$ exponencial). Se deduce de la derivada del producto $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

Fórmula: $\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx$ O en notación abreviada: $\int udv=uv-\int vdu$

Estrategia de elección (ALPES / ILATE): Para elegir qué función será $u$ (la que derivamos), seguimos este orden de prioridad:

1. Arco (Inversas trigonométricas: $\arcsin ,\arctan$)
2. Logaritmos ($\ln x$)
3. Polinomios (Algébricas: $x^2,3x$)
4. Exponenciales ($e^x,2^x$)
5. Seno/Coseno (Trigonométricas)

Nota: La función que sobra será $dv$ (la que integramos).

3.2. Integración por Sustitución (Cambio de Variable)

Primitivas, page 13 Si $x=\varphi (t)$, entonces $dx={\varphi }^{\prime }(t)dt$. $\int f(x)dx=\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)dt{|}_{t={\varphi }^{-1}(x)}$

Pasos:

1. Elegir una sustitución $x=\varphi (t)$ (que sea derivable e invertible en el intervalo).
2. Calcular el diferencial $dx$.
3. Sustituir en la integral y resolver en función de $t$.
4. Deshacer el cambio para volver a la variable $x$.

Sustituciones Trigonométricas e Hiperbólicas Usuales

Para integrales que contienen raíces cuadradas específicas:

Si aparece…	Hacer el cambio…	Identidad útil
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\sinh t$	$1+{\sinh }^{2}t={\cosh }^{2}t$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\cosh t$	${\cosh }^{2}t-1={\sinh }^{2}t$

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4. Aplicaciones (Hoja 7)

Cálculo de Áreas

Para calcular el área de la región limitada por curvas, se utiliza la integral definida.

• Área bajo una curva: ${\int }_a^{b}f(x)dx$
• Área entre dos curvas: Si $f(x)\ge g(x)$ en $[a,b]$: $A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$

Ejercicios Tipo (Hoja 7):

• Por partes: $\int x^2{e}^{x}dx$, $\int x\ln xdx$ (usar regla ALPES).
• Por sustitución: Integrales con raíces cuadradas o funciones compuestas complejas.
• Áreas: Encontrar el área limitada por rectas verticales ($x=a,x=b$) y funciones ($y=f(x)$).

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