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Análise Matemática: O Espaço ${\mathbb{R}}^n$ e Topologia

1. O Espaço ${\mathbb{R}}^n$

O espaço ${\mathbb{R}}^n$ é o conjunto dos $n$-uplos ordenados $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, onde cada componente é um número real.

• ${\mathbb{R}}^n=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \cdots \times \mathbb{R}$ ($n$ vezes).
• É um espaço vetorial real munido de duas operações:
  • Adição: $x+y=(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n)$.
  • Multiplicação escalar: $\alpha \ast x=(\alpha x_1,\dots ,\alpha x_n)$, para $\alpha \in \mathbb{R}$.

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2. Produto Interno, Norma e Distância

Produto Interno

Uma função de ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R}$ é um produto interno se, para todo $x,y,z\in {\mathbb{R}}^n$ e $\alpha \in \mathbb{R}$:

1. $x\ne 0⟹x\cdot x>0$
2. $x\cdot y=y\cdot x$
3. $(\alpha x)\cdot y=\alpha (x\cdot y)$
4. $(x+y)\cdot z=(x\cdot z)+(y\cdot z)$

• Exemplo Canónico: $x\cdot y=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$

Norma

Uma função $||\cdot ||:{\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R}$ é uma norma se, para todo $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ e $\alpha \in \mathbb{R}$:

1. $||x||\ge 0$
2. $||x||=0⟺x=0$
3. $||\alpha x||=|\alpha |||x||$
4. $||x+y||\le ||x||+||y||$

• Exemplo Euclidiano: $||x||=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}$

Distância

Uma função $d:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R}$ é uma distância se, para todo $x,y,z\in {\mathbb{R}}^n$:

1. $d(x,y)\ge 0$
2. $d(x,y)=0⟺x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$

• Exemplo Euclidiano: $d(x,y)=||x-y||=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$

(Nota: Salvo indicação em contrário, utiliza-se sempre a norma e a distância euclidianas em ${\mathbb{R}}^n$).

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3. Noções Topológicas

Bola Aberta: Para um centro $a\in {\mathbb{R}}^n$ e raio $r>0$, define-se como $B(a,r)=\{x\in {\mathbb{R}}^n:||x-a||<r\}$.

Classificação de Pontos (para um conjunto $U\subseteq {\mathbb{R}}^n$)

• Ponto Interior: Existe uma bola centrada no ponto totalmente contida em $U$. ($\exists ϵ>0:B(a,ϵ)\subseteq U$).
• Ponto Aderente: Qualquer bola centrada no ponto interseta $U$. ($\forall ϵ>0:B(a,ϵ)\cap U\ne \varnothing$).
• Ponto de Fronteira: É aderente a $U$ e ao exterior de $U$. ($\forall ϵ>0:B(a,ϵ)\cap U\ne \varnothing$ e $B(a,ϵ)\cap ({\mathbb{R}}^n\setminus U)\ne \varnothing$).
• Ponto de Acumulação: Qualquer bola interseta $U$ num ponto diferente do próprio centro $a$. ($\forall ϵ>0:(B(a,ϵ)\setminus \{a\})\cap U\ne \varnothing$).
• Ponto Isolado: Pertence a $U$, mas não é de acumulação. ($\exists ϵ>0:B(a,ϵ)\cap U=\{a\}$).

Classificação de Conjuntos

• Interior ($intU$ ou $\tilde{U}$): Conjunto de todos os pontos interiores.
• Aderência / Fecho ($adU$ ou $\overline{U}$): Conjunto de todos os pontos aderentes.
• Fronteira ($frU$ ou $\partial U$): Conjunto de todos os pontos de fronteira.
• Derivado ($U^{\prime }$): Conjunto de todos os pontos de acumulação.

Propriedades:

• Aberto: Se $U=\tilde{U}$ (é igual ao seu interior).
• Fechado: Se $U=\overline{U}$ (é igual à sua aderência).
• Limitado: Se estiver inteiramente contido numa bola.

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4. Exemplo Prático

Para o conjunto $A=[0,1[\times [0,1]\cup \{(1,\frac{6}{5})\}$:

• Interior ($\tilde{A}$): $]0,1[\times ]0,1[$
• Aderência ($\overline{A}$): $[0,1]\times [0,1]\cup \{(1,\frac{6}{5})\}$
• Fronteira ($\partial A$): Bordas do quadrado $\cup \{(1,\frac{6}{5})\}$
• Derivado ($A^{\prime }$): $[0,1]\times [0,1]$

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5. Ferramentas Recomendadas

• GeoGebra 3D: Excelente para visualizar bolas topológicas e fronteiras em ${\mathbb{R}}^3$.
• Desmos: Ideal para desenhar desigualdades e visualizar o interior e o fecho de conjuntos em ${\mathbb{R}}^2$.
• Wolfram Alpha: Útil para calcular normas, distâncias e limites de sucessões multidimensionais.

Links

• Slides1.pdf