am Lecture 2

Análise Matemática: Funções de Várias Variáveis e Limites

1. Classificação de Funções

Uma função $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ classifica-se de acordo com a dimensão do seu domínio ($n$) e do seu contradomínio ($m$):

• $n=1,m=1$: Função real de uma variável real. Exemplo: $f(x)=x^2+1$.
• $n=1,m>1$: Função vetorial de uma variável real. Exemplo: $f(x)=(x,x-3)$.
• $n>1,m=1$: Função real de várias variáveis reais. Exemplo: $f(x,y)=x+y$.
• $n>1,m>1$: Função vetorial de várias variáveis reais. Exemplo: $f(x)=(f_1(x),\dots ,f_m(x))$, onde as $f_i$ são funções componentes. O domínio é a interseção dos domínios destas componentes.

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2. Domínio e Gráficos

Seja $\mathcal{D}\subseteq {\mathbb{R}}^n$ o domínio de $f$. Quando omisso, o domínio é o maior subconjunto onde a expressão analítica faz sentido.

O Gráfico de $f$: É o conjunto $Grf=\{(x_1,\dots ,x_n,y)\in {\mathbb{R}}^{n+1}:(x_1,\dots ,x_n)\in \mathcal{D}\text{ e }y=f(x_1,\dots ,x_n)\}$.

• Se $n=1$, o gráfico é uma curva em ${\mathbb{R}}^2$.
• Se $n=2$, o gráfico é uma superfície em ${\mathbb{R}}^3$.
• Se $n=3$, o gráfico é uma hipersuperfície em ${\mathbb{R}}^4$.

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3. Conjuntos de Nível

Para descrever graficamente o comportamento de funções multivariáveis:

• Curvas de Nível ($n=2$): Soluções de $f(x,y)=c$ para $c$ constante. São as projeções verticais no plano $xy$ das curvas formadas pela interseção do gráfico $z=f(x,y)$ com o plano horizontal $z=c$.
• Superfícies de Nível ($n=3$): Conjunto ${\Sigma }_c=\{(x,y,z)\in {\mathcal{D}}_f:f(x,y,z)=c\}$.
• Hipersuperfícies de Nível ($n$ variáveis): Conjunto ${\Sigma }_c=\{x\in {\mathcal{D}}_f:f(x)=c\}$.

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4. Limites e Continuidade

Definição de Limite

Diz-se que $l$ é o limite de $f(x)$ quando $x\to a$ (${\lim }_{x\to a}f(x)=l$) se: $\forall ϵ>0\exists \delta >0\forall x\in \mathcal{D},0<||x-a||<\delta ⟹||f(x)-l||<ϵ$

• O limite, se existir, é único.
• Para funções vetoriais, o limite existe se e só se existir para todas as funções componentes individualmente: ${\lim }_{x\to a}{f}_i(x)=l_i$.

Limites por Trajetórias (O Critério de Não-Existência)

Para que exista ${\lim }_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=l$, o valor tem de ser $l$ independentemente da trajetória de aproximação ao ponto.

• Se encontrarmos duas trajetórias $C_1$ e $C_2$ onde os limites sejam diferentes, então o limite não existe.
• Exemplo clássico: Aproximar pelas retas $y=mx$ ou pela parábola $y=x^2$ para testar a convergência na origem. Se os resultados dependerem de $m$, o limite falha.

Teorema do Enquadramento

Sejam funções tais que $|f(x)-l|\le g(x)$. Se ${\lim }_{x\to a}g(x)=0$, então obrigatoriamente ${\lim }_{x\to a}f(x)=l$. (Muito útil quando os limites por trajetórias dão todos zero, para provar formalmente que o limite é efetivamente zero).

Continuidade

Uma função diz-se contínua num ponto $a\in \mathcal{D}$ se $a$ é um ponto isolado ou se ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$. As operações matemáticas básicas (soma, produto, quociente) mantêm a continuidade.

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5. Ferramentas Sugeridas

• Geogebra 3D / CalcPlot3D: Excelentes para plotar gráficos de funções $f(x,y)$ e visualizar interativamente as curvas e superfícies de nível alterando a constante $c$.
• Symbolab Multivariable Calculus: Útil para verificar limites passo a passo, especialmente quando precisas testar múltiplas trajetórias ($y=mx$, $y=x^2$, etc.).
• Desmos 2D: Ideal para desenhar o mapa de contornos (várias curvas de nível) de uma função bidimensional de forma rápida.

Links

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