prepRecursoCalc

Cálculo I - Resumen

Metadatos

Asignatura: Cálculo I Semestre: 2025/2026 Objetivo: Preparación Examen Final Temas: Sucesiones, Series, Límites, Continuidad, Derivadas, Teoremas Medios, Integrales.

---

1. Números Reales e Inecuaciones (Hoja 1)

Calculo_folha1.pdf

Conceptos Clave

• Supremo e Ínfimo: La menor de las cotas superiores y la mayor de las cotas inferiores. (Recordar: El máximo debe pertenecer al conjunto, el supremo no necesariamente).
• Valor Absoluto: $|x|<a⟺-a<x<a$.
• Inducción Matemática: Paso base ($n=1$) + Paso inductivo (Si vale para $n$, vale para $n+1$).

Ejercicio Difícil Resuelto: Inecuación con Módulo

Problema: Resolver $|2x-1|\ge |x+3|$.

Solución Paso a Paso

Elevamos ambos lados al cuadrado (válido porque ambos son positivos): $(2x-1{)}^2\ge (x+3{)}^2$ $4x^2-4x+1\ge x^2+6x+9$ Pasamos todo a un lado: $3x^2-10x-8\ge 0$ Buscamos raíces de $3x^2-10x-8=0$: $x=\frac{10\pm \sqrt{100-4(3)(-8)}}{6}=\frac{10\pm 14}{6}\Rightarrow x_1=4,x_2=-\frac{2}{3}$ Como es una parábola “hacia arriba” ($\cup$), es positiva fuera de las raíces. Solución: $x\in ]-\infty ,-2/3]\cup [4,+\infty [$

---

2. Sucesiones y Series (Hoja 2)

Calculo_folha2.pdf

Conceptos Clave

• Número $e$: $\lim (1+1/n{)}^n=e$.
• Series Geométricas: $\sum r^n$ converge si $|r|<1$. Suma = $\frac{a}{1-r}$.
• Criterio de D’Alembert (Cociente): $L=\lim |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$. Si $L<1$ converge.
• Criterio de la Raíz: $L=\lim \sqrt[n]{|a_n|}$. Si $L<1$ converge.

Ejercicio Difícil Resuelto: Convergencia de Series

Problema: Estudiar la convergencia de ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}$.

Solución (Criterio de D'Alembert)

Calculamos el límite del cociente $a_{n+1}/a_n$: $\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{n!}=\frac{(n+1)n!\cdot n^n}{(n+1)(n+1{)}^n\cdot n!}$ Simplificamos: $=\frac{n^n}{(n+1{)}^n}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n={\left(\frac{1}{\frac{n+1}{n}}\right)}^n=\frac{1}{(1+\frac{1}{n}{)}^n}$ Al tomar el límite cuando $n\to \infty$, el denominador es el número $e$. $L=\frac{1}{e}\approx \frac{1}{2.71}<1$ Conclusión: Como $L<1$, la serie Converge.

---

3. Límites y Continuidad (Hojas 3 y 4)

Calculo_folha4.pdf

Conceptos Clave

• Indeterminaciones: $0/0,\infty /\infty ,1^{\infty }$ (Usar el número $e$), $0\cdot \infty$.
• Teorema de Bolzano: $f$ continua en $[a,b]$ y signos opuestos $\Rightarrow \exists c,f(c)=0$.
• Teorema de Weierstrass: $f$ continua en cerrado $[a,b]$ alcanza Máximo y Mínimo absolutos.

Ejercicio Difícil Resuelto: Continuidad con Parámetro

Problema: Hallar $k$ para que $f(x)$ sea continua en $x=0$.

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (2x)}{x}& x<0\\ k+e^x& x\ge 0\end{array}$

Solución

1. Límite lateral izquierdo ($x\to 0^{-}$): ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (2x)}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{2\sin (2x)}{2x}=2(1)=2$
2. Límite lateral derecho ($x\to 0^{+}$) e imagen: $f(0)=k+e^0=k+1$
3. Igualamos: $2=k+1\Rightarrow k=1$ Respuesta: Para $k=1$, la función es continua.

---

4. Derivadas y Teoremas Medios (Hojas 5 y 6)

Calculo_folha6.pdf

Conceptos Clave

• Derivada Inversa: $(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$.
• Teorema de Rolle: $f(a)=f(b)\Rightarrow f^{\prime }(c)=0$. (Unicidad de raíces).
• Teorema de Lagrange (TVM): $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$. (Desigualdades).

Ejercicio Difícil Resuelto: Desigualdad con Lagrange

Problema: Demostrar que $|\sin x-\sin y|\le |x-y|$.

Solución

Aplicamos Lagrange a $f(t)=\sin t$ en el intervalo entre $x$ e $y$. $\frac{\sin x-\sin y}{x-y}=f^{\prime }(c)=\cos c$ Tomamos valor absoluto: $\left|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}\right|=|\cos c|$ Sabemos que el coseno siempre está acotado por 1 ($|\cos c|\le 1$). $\frac{|\sin x-\sin y|}{|x-y|}\le 1\Rightarrow |\sin x-\sin y|\le |x-y|$ Q.E.D.

---

5. Primitivas e Integrales (Hoja 7)

Calculo_folha7.pdf

Conceptos Clave

• Sustitución: $u=g(x)\Rightarrow du=g^{\prime }(x)dx$.
• Por Partes (ALPES): $\int udv=uv-\int vdu$.
  • Prioridad $u$: Arco, Log, Polinomio, Exp, Seno/Cos.
• Áreas: $A={\int }_a^b[\text{Techo}-\text{Suelo}]dx$.

Ejercicio Difícil Resuelto: Integral Cíclica / Truco

Problema: Calcular $\int \sin (2x)\cos (x)dx$.

Solución (Vía Ángulo Doble)

Usamos identidad: $\sin (2x)=2\sin x\cos x$. $I=\int (2\sin x\cos x)\cdot \cos xdx=2\int \sin x\cdot {\cos }^{2}xdx$ Cambio de variable:

• $u=\cos x$
• $du=-\sin xdx\Rightarrow -du=\sin xdx$

Sustituimos: $I=2\int u^2(-du)=-2\int u^{2}du$ $I=-2\frac{u^3}{3}+C$ Deshacemos cambio: $\mathbf{I}=-\frac{2}{3}{\cos }^3\mathbf{x}+\mathbf{C}$

---

Consejos Finales para el Examen

1. Definiciones: Memoriza la definición formal de límite ($ϵ-\delta$) y de derivada.
2. Condiciones: Antes de usar Rolle o Lagrange, escribe: “Como $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $]a,b[$…“. Eso da puntos.
3. L’Hôpital: Solo úsalo si verificas que es $0/0$ o $\infty /\infty$.

Glosario de Definiciones Formales (Para Memorizar)

1. Límite de una Función (Definición $ϵ-\delta$)

Funcoes.pdf Sea $f:D\to \mathbb{R}$ una función y $c$ un punto de acumulación de $D$. Se dice que el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $c$ es $L$, y se escribe ${\lim }_{x\to c}f(x)=L$, si:

$\forall ϵ>0,\exists \delta >0\text{ tal que }\forall x\in D,0<|x-c|<\delta ⟹|f(x)-L|<ϵ$

(En palabras: Para cualquier entorno de $L$ que elijas, por pequeño que sea, puedo encontrar un entorno de $c$ tal que todos los puntos dentro caigan en tu entorno).

---

2. Continuidad en un Punto

LimitesContinuidade.pdf Sea $f:D\to \mathbb{R}$ y $c\in D$. Se dice que $f$ es continua en $c$ si:

1. Existe el límite ${\lim }_{x\to c}f(x)$.
2. Existe la imagen $f(c)$.
3. Ambos coinciden:

   ${\lim }_{x\to c}f(x)=f(c)$

Versión $ϵ-\delta$:

$\forall ϵ>0,\exists \delta >0\text{ tal que }\forall x\in D,|x-c|<\delta ⟹|f(x)-f(c)|<ϵ$

---

3. Derivada en un Punto

Derivadas.pdf Sea $f:D\to \mathbb{R}$ y $x_0$ un punto interior de $D$. Se dice que $f$ es derivable en $x_0$ si existe y es finito el siguiente límite:

$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

O equivalentemente (usando $h=x-x_0$):

$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

---

4. Convergencia de una Sucesión

SucessoesSeries.pdf Una sucesión $(a_n)$ converge hacia $L$ (se escribe $a_n\to L$) si:

$\forall ϵ>0,\exists p\in \mathbb{N}\text{ tal que }\forall n\ge p⟹|a_n-L|<ϵ$

(A partir de un cierto orden $p$, todos los términos están tan cerca de $L$ como queramos).

---

5. Convergencia de una Serie

Dada una serie $\sum a_n$, se define la sucesión de sumas parciales como $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$. La serie se dice convergente si la sucesión de sumas parciales $(S_n)$ es convergente. En ese caso:

${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{S}_n$

---

6. Supremo e Ínfimo (Hoja 1)

RetaReal.pdf Sea $A\subset \mathbb{R}$ un conjunto no vacío.

• Supremo ($\sup A$): Es la menor de las cotas superiores de $A$.
  • $s=\sup A⟺\forall ϵ>0,\exists x\in A\text{ tal que }s-ϵ<x\le s$.
• Ínfimo ($\inf A$): Es la mayor de las cotas inferiores de $A$.

---

Corrección: Teste 1 Cálculo I (2025-11-08)

Calculo_teste1_2025-11-08.pdf

Metadatos

Asignatura: Licenciatura em Ciências da Computação Fecha: 08-11-2025 Temas: Sucesiones, Series, Funciones, Gráficos, Topología de $\mathbb{R}$.

---

Grupo I: Opción Múltiple

Questão 1. Conjunto y Supremos

Dado $A=\{\frac{(-1{)}^n}{n}:n\in \mathbb{N}\}$.

Respuesta: $A^{\prime }=\{0\}$

• Análisis: Los términos son $-1,1/2,-1/3,1/4...$
• Oscilan acercándose a 0. El único punto de acumulación es el $0$.
• Supremo $=1/2$, Ínfimo $=-1$.

Questão 2. Inecuación

Conjunto $\{x\in \mathbb{R}:|x|<|x-1|\}$.

Respuesta: $]-\infty ,1/2[$

• Resolución: Elevar al cuadrado: $x^2<(x-1{)}^2⟹x^2<x^2-2x+1⟹2x<1⟹x<1/2$.
• Visual: Son los puntos más cerca del 0 que del 1.

Questão 3. Paridad

Si $f$ es par, entonces…

Respuesta: $g\circ f$ es una función par

• Justificación: $(g\circ f)(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=(g\circ f)(x)$. La composición hereda la paridad de la función interna.

Questão 4. Función Inversa

$f:{\mathbb{R}}_0^{+}\to ]0,1]$ tal que $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$.

Respuesta: $f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$

• Despeje: $y=\frac{1}{x^2+1}⟹x^2=\frac{1}{y}-1=\frac{1-y}{y}⟹x=\sqrt{\frac{1-y}{y}}$.

---

Grupo II: Verdadero o Falso

a) Sucesiones y Subsucesiones

“Si una sucesión es convergente, cualquier subsucesión es convergente.”

VERDADERO

Si el tren llega a una estación, cualquier vagón seleccionado también llega a esa estación.

b) Convergencia de Serie

“La serie $\sum \cos (1/n^2)$ es convergente.”

FALSO

• Fallo: El límite del término general no es 0.
• ${\lim }_{n\to \infty }\cos (1/n^2)=\cos (0)=1\ne 0$. (Diverge).

c) Series y Subsucesiones

“Si $\sum a_n$ converge, la serie generada por cualquier subsucesión también converge.”

FALSO

• Contraejemplo: Serie Armónica Alternada $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ converge.
• Si tomamos la subsucesión de términos pares (signo +), queda $\sum \frac{1}{2n}$, que diverge (es armónica).

d) Linealidad de Series

“Si $\sum a_n=1$, entonces $\sum (a_n+1)=2$.”

FALSO

• $\sum (a_n+1)=\sum a_n+\sum 1=1+\infty =\infty$.

---

Grupo III: Análisis de Gráficos

Función: $f:[-2,3]\to \mathbb{R}$.

• Izquierda ($[-2,0]$): Recta desde $(-1,2)$ a $(0,0)$.
• Derecha ($]0,3]$): Parábola $y=\frac{x^2}{2}-2x$. Vértice en $(2,-2)$.

a) Inyectividad

No es inyectiva.

• Razón: Falla la prueba de la recta horizontal. Por ejemplo, la altura $y=-1$ se alcanza tanto en la parábola como en la parte izquierda (si se extiende el dominio o trazamos en $y=0.5$).

b) Imagen de un intervalo: $f([-1,0])$

Respuesta: $[0,2]$

• En $x=-1$, $y=2$. En $x=0$, $y=0$. La función recorre todo el intervalo de alturas entre 0 y 2.

c) Imagen inversa: $f^{-1}([1,2])$

Respuesta: $[-1,-0.5]$

• Buscamos las $x$ donde la altura es $\ge 1$ y $\le 2$.
• En el tramo izquierdo (recta $y=-2x$), la altura 1 se alcanza en $x=-0.5$. La altura 2 en $x=-1$.

d) Extremos Locales

• Mínimo Local: En $x=2$ (Vértice de la parábola, valor $-2$).
• Máximo Local: En $x=-1$ (Pico de la función, valor $2$).

e) Extremos Absolutos

• Mínimo Absoluto: $-2$ (Valor más bajo de todo el gráfico).
• Máximo Absoluto: $2$ (Valor más alto de todo el gráfico).

f) Expresión Analítica en $]0,3]$

Respuesta: $f(x)=\frac{x^2}{2}-2x$

• Deducción: Parábola con vértice $(2,-2)$ que pasa por $(0,0)$.
• $y=a(x-2{)}^2-2\stackrel{(0,0)}{\to }0=4a-2⟹a=1/2$.

---

Grupo IV: Teórico-Práctico

Questão 1. Ejemplos

a) Sucesión creciente convergente a 0:

$a_n=-\frac{1}{n}$ (Sube desde -1 hacia 0: $-1,-0.5,-\mathrm{0.33...}\to 0$).

b) Serie alternada absolutamente convergente:

${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}$ Es absoluta porque $\sum |\frac{(-1{)}^n}{n^2}|=\sum \frac{1}{n^2}$ converge ($p=2>1$).

c) Función con imagen $\mathbb{Q}$:

Función de Dirichlet modificada: $f(x)=x$ si $x\in \mathbb{Q}$, y $0$ si $x\notin \mathbb{Q}$.

d) Biyección $[0,1]\to ]0,1]$:

Usar una sucesión para “desplazar” el 0. $f(0)=1,f(1)=1/2,f(1/2)=1/3\dots$ y $f(x)=x$ para el resto.

---

Questão 2. Límite de Sucesión

Calcular ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n!}{n^n}$.

Resolución (Criterio Cociente)

$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim {\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=\lim \frac{1}{(1+\frac{1}{n}{)}^n}=\frac{1}{e}$ Como $\frac{1}{e}<1$, la sucesión tiende a 0.

Questão 3. Convergencia de Serie

Estudiar $\sum \frac{(n+1{)}^n}{3^{n}n!}$.

Resolución (Criterio Cociente)

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+2{)}^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!}\cdot \frac{3^{n}n!}{(n+1{)}^n}=\frac{1}{3}{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^n\frac{n+2}{n+1}$ El límite es: $\frac{1}{3}\cdot e\cdot 1=\frac{e}{3}\approx 0.9$ Como $\frac{e}{3}<1$, la serie CONVERGE.

Corrección: Teste 2 Cálculo I (2025-12-16)

Metadatos

Asignatura: Licenciatura em Ciências da Computação Fecha: 16-12-2025 Temas: Límites, Continuidad, Derivadas, Teoremas (Rolle/Lagrange).

---

Grupo I: Opción Múltiple

Questão 1. Definición Formal

Dado: $\forall ϵ>0,\forall x\in \mathbb{R},0<|x-3|<ϵ\Rightarrow |f(x)-3|<ϵ$.

Respuesta: ${\lim }_{x\to 3}f(x)=3$

• Justificación Teórica:
  • Definición de Límite: Se preocupa por el comportamiento alrededor del punto, excluyendo el punto mismo ($0<|x-a|$).
  • Definición de Continuidad: Requiere que el límite exista Y coincida con la imagen ($f(3)$). Como la condición excluye $x=3$, no garantiza continuidad.

Questão 2. Función Inversa Trigonométrica

Valor de $\arccos (\cos \frac{5\pi }{7})$.

Respuesta: $\frac{5\pi }{7}$

• Razón: El rango de la función arco coseno es $[0,\pi ]$. Como $\frac{5\pi }{7}\approx 2.24$ está dentro de $[0,3.14]$, la función y su inversa se cancelan directamente.

Questão 3. Conversión Seno-Coseno

Valor de $\arccos (sen\frac{8\pi }{7})$.

Respuesta: $\frac{9\pi }{14}$

• Cálculo:
  1. $sen(\frac{8\pi }{7})=-sen(\frac{\pi }{7})$ (3º Cuadrante).
  2. Convertir a Coseno: $-sen(x)=\cos (\frac{\pi }{2}+x)$.
  3. $\cos (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{7})=\cos (\frac{9\pi }{14})$.
  4. Resultado final: $\frac{9\pi }{14}$.

Questão 4. Teorema de Rolle

$f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ derivable, con $f(-1)=f(1)=-1$ y $f(0)=0$.

Respuesta: $f^{\prime }$ tem pelo menos um zero

• Teorema de Rolle: Si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $]a,b[$ y $f(a)=f(b)$, entonces $\exists c\in ]a,b[$ tal que $f^{\prime }(c)=0$.
• Aquí $f(-1)=f(1)$, por lo que la derivada debe anularse al menos una vez.

Questão 5. Monotonía

$f:[0,1]\to \mathbb{R}$ derivable y $f^{\prime }(x)\ne 0$ para todo $x$.

Respuesta: $f$ é monótona

• Teoría: Si la derivada es continua y nunca es cero, entonces conserva siempre el mismo signo (siempre positiva o siempre negativa). Por tanto, la función siempre crece o siempre decrece.

---

Grupo II: Análisis de Gráfico y Derivadas

Función: $f:[-2,3]\to \mathbb{R}$.

• Tramo 1 (Rectas): Pasa por $(-2,0)$, pico en $(-1,1)$, baja hacia el $(0,0)$.
• Tramo 2 (Parábola): $y=\frac{x^2}{2}-2x$.
• Punto Especial: Bola blanca en $(0,0)$, punto negro sólido en $(0,-1)$.

a) Conjunto de puntos de discontinuidad

Respuesta: $\{0\}$

• En $x=0$:
  • ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$ (las líneas convergen al origen).
  • $f(0)=-1$ (punto desplazado).
  • Como Límite $\ne$ Imagen, es discontinua.
• (Nota: En $x=-1$ la función es continua porque las rectas se conectan en el pico, aunque no sea suave).

b) Cálculo de Derivadas

• $f^{\prime }(-2)=1$
  • Pendiente de la recta entre $(-2,0)$ y $(-1,1)$. ($m=\frac{1-0}{-1-(-2)}=1$).
• $f^{\prime }(-1)$ No existe
  • Justificación: Es un “punto anguloso” (pico).
  • Derivada lateral izq: $1$. Derivada lateral der: $-1$. No coinciden.
• $f^{\prime }(0)$ No existe
  • Justificación: La función no es continua en $x=0$.
  • Teorema: “Si $f$ no es continua en $a$, entonces $f$ no es derivable en $a$“.
• $f^{\prime }(1)=-1$
  • Derivada de la parábola: $f^{\prime }(x)=x-2$.
  • $f^{\prime }(1)=1-2=-1$.

c) Recta Tangente en $x=1$

Ecuación: $y=-x-0.5$

• Punto: $f(1)=-1.5$.
• Pendiente: $m=f^{\prime }(1)=-1$.
• $y-(-1.5)=-1(x-1)⟹y=-x+1-1.5$.

d) Definición de Límite ($ϵ-\delta$)

Hallar el mayor $\delta$ tal que $|f(x)-f(1)|<1/2$.

Respuesta: $\delta =\sqrt{2}-1$

• Análisis:
  • Centro: $f(1)=-1.5$. Rango permitido: $]-2,-1[$.
  • La parábola rompe el “techo” (-1) antes que la “tangente”.
  • Resolvemos $f(x)=-1⟹\frac{x^2}{2}-2x=-1⟹x=2\pm \sqrt{2}$.
  • La frontera más cercana al 1 es $2-\sqrt{2}$.
  • Distancia $\delta =1-(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$.

---

Grupo III: Cálculo Teórico-Práctico

Questão 1. Límites

a) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{sen(2x)}{xsenx}$

Resolución

$={\lim }_{x\to +\infty }\frac{2senx\cos x}{xsenx}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{2\cos x}{x}$ Aplicamos el Teorema del Encaje (Sandwich): Sabendo que $-1\le \cos x\le 1$, multiplicamos por $\frac{2}{x}$: $-\frac{2}{x}\le \frac{2\cos x}{x}\le \frac{2}{x}$ Calculamos los límites de los extremos:

• $\lim (-\frac{2}{x})=0$
• $\lim (\frac{2}{x})=0$

Por tanto, el límite central también es 0.

b) ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cosh x-1}{e^x-1}$

Resolución

Sustituyendo da $0/0$ (Indeterminación).

Método 1 (L’Hôpital): ${\lim }_{x\to 0}\frac{(\cosh x{)}^{\prime }}{(e^x-1{)}^{\prime }}={\lim }_{x\to 0}\frac{\sinh x}{e^x}=\frac{\sinh (0)}{e^0}=\frac{0}{1}=0$

Método 2 (Definición): Usando $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$: $={\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{e^x+e^{-x}-2}{2}}{e^x-1}={\lim }_{x\to 0}\frac{(e^x-1{)}^2}{2e^x(e^x-1)}={\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2e^x}=\frac{0}{2}=0$

---

Questão 2. Funciones a Trozos

Dadas las funciones:

• $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1& x\le 0\\ 1-x& x>0\end{array}$
• $g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1& x\in \mathbb{Z}\\ 1-x& x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\end{array}$

a) Identifique los puntos de continuidad

• Para $f(x)$: Continua en todo $\mathbb{R}$.
  • Justificación: En $x=0$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}(x^2+1)=1$ y ${\lim }_{x\to 0^{+}}(1-x)=1$. Como coinciden con $f(0)=1$, es continua.
• Para $g(x)$: Continua en $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\cup \{0,-1\}$.
  • Justificación: Es discontinua en la mayoría de los enteros porque el límite sigue la recta $1-x$ pero el valor del punto salta a la parábola $x^2+1$. Solo es continua donde se cruzan: $1-x=x^2+1⟹x=0,x=-1$.

b) Calcule los límites en $+\infty$

• ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$: $=\lim (1-x)=1-\infty =-\infty$

• ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)$: No existe. Justificación: La función oscila infinitamente. Si vas por números no enteros tiende a $-\infty$ (recta), pero si vas saltando por los enteros tiende a $+\infty$ (parábola).

---

Questão 3. Teorema del Valor Medio (Lagrange)

Demostrar que $|\cos x-\cos y|\le |x-y|$ para todo $x,y\in \mathbb{R}$.

Demostración

1. Definimos la función $h(t)=\cos t$. Es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$.
2. Por el Teorema de Lagrange (TVM), para cualquier intervalo entre $x$ e $y$, existe un $c$ tal que: $\frac{h(x)-h(y)}{x-y}=h^{\prime }(c)$
3. Calculamos la derivada: $h^{\prime }(c)=-senc$. $\frac{\cos x-\cos y}{x-y}=-senc$
4. Aplicamos valor absoluto a ambos lados: $\left|\frac{\cos x-\cos y}{x-y}\right|=|-senc|$
5. Como el seno está acotado por 1 ($|senc|\le 1$): $\frac{|\cos x-\cos y|}{|x-y|}\le 1$
6. Despejamos: $|\cos x-\cos y|\le |x-y|$

Excalidraw Data

Text Elements

Criterio de Leibniz

a serie é convergente

Criterio D’Alembert

Element Links

RuN0Fupc: Calculo_folha7.pdf

fL29NoQ1: Calculo_teste1_2025-11-08.pdf

cGvC8HLb: Calculo_teste2_2025-12-16.pdf