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Notas para el segundo parcial de Cálculo

Fichas resolvidas

• Ficha 4
• Ficha 5
• Ficha 6

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***TEMA 4: Límites y continuidad calculus calculus Continuidad

Definición de un límite: si no existe tal L entonces se dice que f diverge o simplemente que el límite no existe

Ejercicios folha 4

Calculo_folha4

4.2 La propiedad que es realmente verdadera es $$\begin{gathered} {\lim }_{x\to x_0}f(x)=2\times \\ li{m}_{x\to x_0}f(2x) \end{gathered}$$ 4.5 TeoremaDelSandwich TeoremaDoEnquadramento

Se usa el Teorema del sandwich o teorema del encuadramiento

4.7 LimitesContinuidade, page 11 ${\forall }_{ϵ}>0\exists \phi {\forall }_x\in X|x-x_0|<\phi \to |f(x)-f(x_0)|<ϵ$ a) y b) ??????

4.9 Dirichlet y Thomae

Dirichlet y Thomae (funciones raras)

4.10 Heaviside b)

función de heaviside función matemática discontinua que vale 0 para argumentos negativos y 1 para argumentos no negativos (positivos o cero), modelando un “interruptor” que se enciende instantáneamente, usándose en ingeniería para circuitos y señales, y representando un “sí/no” o “activo/inactivo”, con su derivada siendo la función delta de Dirac y clave en la transformada de Laplace para funciones por tramos

Calculo_folha4, page 2

Resumen: Hoja 4 (Límites y Continuidad)

1. Definición de Continuidad

Para que una función $f$ sea continua en un punto $a$, deben cumplirse tres cosas simultáneamente:

1. Existe $f(a)$.
2. Existe el límite ${\lim }_{x\to a}f(x)$ (los límites laterales coinciden).
3. El límite es igual al valor de la función.

Fórmula: ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)={\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$

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2. Teorema de Bolzano-Cauchy (Ceros de una función)

¿Para qué sirve? Es fundamental para demostrar que una ecuación tiene solución (existe una raíz) dentro de un intervalo, aunque no sepamos calcularla.

Enunciado: Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$. Si $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos contrarios (es decir, $f(a)\cdot f(b)<0$), entonces existe al menos un punto $c\in ]a,b[$ tal que: $f(c)=0$

• Uso típico: “Muestre que la ecuación $x^3+x-1=0$ tiene solución en $]0,1[$“.

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3. Teorema de Weierstrass (Extremos Absolutos)

¿Para qué sirve? Garantiza que una función acotada y continua siempre alcanza un “techo” (máximo) y un “suelo” (mínimo).

Enunciado: Si $f$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$, entonces $f$ alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en ese intervalo. $\exists x_{min},x_{max}\in [a,b]\text{ tales que }f(x_{min})\le f(x)\le f(x_{max}),\forall x\in [a,b]$

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4. Teorema del Valor Intermedio (Darboux)

¿Para qué sirve? Es una generalización de Bolzano. Dice que una función continua no da “saltos”. Si pasa de 10 a 20, tuvo que pasar por el 15.

Enunciado: Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $k$ es un número entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces existe al menos un $c\in ]a,b[$ tal que: $f(c)=k$

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Resumen: Hoja 5 (Funciones Especiales)

1. Funciones Trigonométricas Inversas

Son vitales para resolver ecuaciones y simplificar expresiones (como en el Ejercicio 5.3).

Función	Dominio	Rango (Imagen)	Definición
Arcoseno	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$	$y=\arcsin x⟺\sin y=x$
Arcocoseno	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$	$y=\arccos x⟺\cos y=x$
Arcotangente	$\mathbb{R}$	$]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$	$y=\arctan x⟺\tan y=x$

Identidades Clave para Deducciones (Ej. 5.3)

Para simplificar expresiones como $\sin (\arccos x)$:

1. ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
2. $1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$
3. Truco del triángulo: Dibuja un triángulo rectángulo donde el ángulo es $\alpha =\arccos x$ (cateto adyacente $=x$, hipotenusa $=1$).

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2. Funciones Hiperbólicas

Se definen usando la exponencial $e^x$. Se comportan parecido a las trigonométricas, pero con diferencias de signo.

Definiciones

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2};\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2};\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

Identidad Fundamental Hiperbólica (¡Ojo al signo menos!)

A diferencia de la trigonometría clásica (${\cos }^2+{\sin }^2=1$), aquí es: ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

Propiedades de Paridad

• Impar: $\sinh (-x)=-\sinh x$
• Par: $\cosh (-x)=\cosh x$ (como una parábola colgante).

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3. Inversas Hiperbólicas (Argumentos)

Aparecen en el Ejercicio 5.10. Se expresan con logaritmos.

1. Argumento Seno Hiperbólico: $\text{argsh }x=\ln (x+\sqrt{x^2+1}),\forall x\in \mathbb{R}$
2. Argumento Coseno Hiperbólico: $\text{argch }x=\ln (x+\sqrt{x^2-1}),x\ge 1$
3. Argumento Tangente Hiperbólica: $\text{argth }x=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right),|x|<1$

Resumen: Teoremas Fundamentales del Cálculo (Hoja 6)

1. Teorema de Bolzano (Existencia de Raíces)

¿Para qué sirve? Permite asegurar que una ecuación tiene solución (existe al menos una raíz), aunque no sepamos calcularla exactamente. Se basa en el cambio de signo.

Enunciado: Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$. Si $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos (es decir, $f(a)\cdot f(b)<0$), entonces existe al menos un punto $c\in ]a,b[$ tal que: $f(c)=0$

Ejemplo Práctico (Ejercicio 6.13)

Problema: Demostrar que $p(x)=x^3-6x^2+9x-1$ tiene un cero en $]1,3[$.

Demostración:

1. Evaluamos la función en los extremos: $p(1)=1^3-6(1{)}^2+9(1)-1=3(>0)$ $p(3)=3^3-6(3{)}^2+9(3)-1=27-54+27-1=-1(<0)$
2. Como $p(x)$ es continua (es un polinomio) y hay cambio de signo ($p(1)\cdot p(3)<0$), por el Teorema de Bolzano: $\exists c\in ]1,3[\text{ tal que }p(c)=0$

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2. Teorema de Rolle (Unicidad y Derivada)

¿Para qué sirve? Se usa frecuentemente para demostrar la unicidad de una raíz (que no hay más de una) mediante reducción al absurdo. Relaciona los valores iguales de la función con un cero en la derivada.

Enunciado: Sea $f$ una función continua en $[a,b]$ y derivable en $]a,b[$. Si $f(a)=f(b)$, entonces existe al menos un punto $c\in ]a,b[$ tal que: $f^{\prime }(c)=0$ (La tangente es horizontal).

Ejemplo Práctico (Ejercicio 6.15)

Problema: Demostrar que $x^3-3x+b=0$ no puede tener más de una raíz en $]-1,1[$.

Demostración (Reducción al Absurdo):

1. Supongamos que existen dos raíces distintas $x_1,x_2\in ]-1,1[$ tal que $f(x_1)=f(x_2)=0$.
2. Por el Teorema de Rolle, debería existir un $c$ entre ellos tal que $f^{\prime }(c)=0$.
3. Calculamos la derivada: $f^{\prime }(x)=3x^2-3$
4. Buscamos dónde se anula: $3x^2-3=0⟺x^2=1⟺x=\pm 1$
5. Contradicción: Los puntos $x=1$ y $x=-1$ no pertenecen al intervalo abierto $]-1,1[$.
6. Conclusión: La suposición es falsa, por lo tanto, no puede haber dos raíces.

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3. Teorema de Lagrange / Valor Medio (Desigualdades)

¿Para qué sirve? Es la herramienta principal para demostrar desigualdades complejas que involucran funciones ($e^x,\ln x,\sin x$).

Enunciado: Sea $f$ continua en $[a,b]$ y derivable en $]a,b[$. Existe un punto $c\in ]a,b[$ tal que: $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$ (La velocidad media es igual a la velocidad instantánea en un punto).

Ejemplo Práctico (Ejercicio 6.20 a)

Problema: Demostrar que $e^x>1+x$ para todo $x\ne 0$.

Demostración:

1. Consideramos $f(t)=e^t$ en el intervalo $[0,x]$ (asumiendo $x>0$).
2. Aplicamos Lagrange: $\frac{e^x-e^0}{x-0}=e^c⟹\frac{e^x-1}{x}=e^c$
3. Despejamos $e^x$: $e^x=1+x\cdot e^c$
4. Analizamos el signo: Como $c\in ]0,x[$, entonces $c>0⟹e^c>1$. Multiplicando por $x$ (que es positivo): $x\cdot e^c>x$.
5. Sustituimos en la ecuación: $e^x=1+(x\cdot e^c)>1+x$ $\boxed{e^x>1+x}$

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Guía Rápida para Examen

Si el ejercicio pide…	Usa este Teorema	Estrategia
Demostrar que existe solución	Bolzano	Busca cambio de signo $(+\to -)$ en los extremos.
Demostrar que hay exactamente una solución	Bolzano + Monotonía	1. Bolzano (existe). 2. Signo de $f^{\prime }(x)$ (siempre crece/decrece $\to$ única).
Demostrar que NO hay más soluciones	Rolle	Supón que hay dos y busca contradicción en $f^{\prime }(c)=0$.
Demostrar una desigualdad	Lagrange	Aplica $\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(c)$ y acota $f^{\prime }(c)$.

*Bibliografías: LimitesContinuidade, page 1 Apuntes_en_Cálculo_I (4), pag Derivadas.pdf Funcoes.pdf TrigonometricasHiperbolicas.pdf

*Ejercicios: Calculo_folha4, page 1 Calculo_folha5.pdf Calculo_folha6.pdf CalculoEng_folha4_AL2, page 1

Formularios FormularioDerivadas.pdf FormularioTrigonometricasHiperbolicas.pdf