Lecture 1 md

Información General

• Profesor: Pedro Patrício
• Evaluación:
  • 2 Testes.
  • Fecha 1º Test: 20 de marzo.
  • Nota: Los tests son la semana anterior al “Enterro da Gata”.

Programa

1. Teoria de Números (Enfoque actual)
2. Teoria de Grafos

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Conceitos Chave (Key Concepts)

1. Princípio da Boa Ordenação (P.B.O.)

Todo subconjunto não vazio de números naturais tem um elemento mínimo.

Seja $S\subseteq \mathbb{N}$ e $S\ne \varnothing$, então: $\exists a\in S:\forall b\in S,a\le b$

Nota: Este princípio é fundamental para provar o algoritmo da divisão e a indução.

2. Propriedade Arquimediana

Para quaisquer dois números naturais, existe sempre um múltiplo do primeiro que supera o segundo. Ou seja, os naturais não são limitados superiormente.

$\forall a,b\in \mathbb{N},\exists n\in \mathbb{N}:n\cdot a>b$

Esboço da Demonstração (por absurdo):

• Supomos que $\forall n\in \mathbb{N},na\le b$.
• Definimos um conjunto $S$ com as diferenças.
• Pelo P.B.O., existiria um mínimo que levaria a uma contradição ($b-(n+1)a<\text{mıˊnimo}$).

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Indução Matemática

1º Princípio da Indução

Para provar que uma propriedade $P(n)$ é verdadeira para todo $n\in \mathbb{N}$:

1. Base: Provar que $P(1)$ é verdadeira.
2. Passo Indutivo: Provar que se $P(k)$ é verdadeira, então $P(k+1)$ também é. $P(k)⟹P(k+1)$

Princípio da Indução Completa (Forte)

Às vezes é necessário assumir que a propriedade vale para todos os anteriores, não apenas o imediato. $(\forall k<n,P(k)\text{ eˊ vaˊlida})⟹P(n)\text{ eˊ vaˊlida}$

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Algoritmo da Divisão

Dados dois inteiros, existe uma única maneira de dividi-los com resto não negativo menor que o divisor.

Teorema: $\forall a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N},\exists !(q,r)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}:a=bq+r\text{com}0\le r<b$

Demonstração (Resumo Aula)

1. Existência (Usando P.B.O.)

Definimos o conjunto $S$ de todos os restos não-negativos possíveis: $S=\{a-xb:x\in \mathbb{Z}\wedge a-xb\ge 0\}\subseteq {\mathbb{N}}_0$

• Pelo P.B.O., $S$ tem um elemento mínimo. Chamamos esse mínimo de $r$.
• Definimos $q$ tal que $r=a-qb$.
• Prova de que $r<b$: Se $r\ge b$, poderíamos subtrair $b$ mais uma vez e obter um resto ainda menor que o mínimo (contradição).

2. Unicidade

Supomos que existem dois pares $(q,r)$ e $(q^{\prime },r^{\prime })$. $a=bq+r=b{q}^{\prime }+r^{\prime }$ Manipulando a equação: $|r-r^{\prime }|=|q-q^{\prime }|b$ Como $0\le r,r^{\prime }<b$, a distância entre eles é menor que $b$ ($|r-r^{\prime }|<b$). Isso implica que $|q-q^{\prime }|<1$. Como são inteiros, a única opção é $q=q^{\prime }$, e consequentemente $r=r^{\prime }$.