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Lecture 2: Divisibilidade e Números Primos

1. Divisibilidade

A teoria dos números foca-se nas propriedades dos números inteiros ($\mathbb{Z}$). A noção de divisibilidade é central.

Definição: Sejam $a,b\in \mathbb{Z}$ com $a\ne 0$. Diz-se que $a$ divide $b$ (escreve-se $a|b$) se e só se existe um inteiro $c$ tal que $b=a\cdot c$.

• Terminologia:
  • $a$ é divisor de $b$.
  • $b$ é múltiplo de $a$.
  • $a$ é um fator de $b$.

Propriedades da Divisibilidade

Sejam $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$. As seguintes propriedades são fundamentais:

1. Reflexiva: $a|a$ (para todo $a\ne 0$).
2. Universal: $1|a$ (para todo $a$).
3. Transitiva: Se $a|b$ e $b|c$, então $a|c$.
4. Linearidade (Muito Importante): Se $d|a$ e $d|b$, então $d$ divide qualquer combinação linear de $a$ e $b$. $\forall x,y\in \mathbb{Z}⟹d|(ax+by)$
5. Multiplicação: Se $a|b$, então $ac|bc$ (para $c\ne 0$).
6. Limitação (em valor absoluto): Se $a|b$ e $b\ne 0$, então $|a|\le |b|$.
7. Anti-simetria (nos Naturais): Se $a|b$ e $b|a$, com $a,b>0$, então $a=b$. (Em $\mathbb{Z}$, $a=\pm b$).

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2. Números Primos

Definição: Um inteiro $p>1$ é chamado de número primo se os seus únicos divisores positivos forem $1$ e $p$.

• Se um inteiro $n>1$ não é primo, diz-se que é composto.

Teorema Fundamental da Aritmética (T.F.A): Todo o inteiro $n>1$ pode ser representado como um produto de números primos de forma única (a menos da ordem dos fatores).

$n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k}$

Teorema (Infinitude dos Primos): Existem infinitos números primos.

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O Crivo de Eratóstenes: É um algoritmo simples e prático para encontrar todos os números primos até um determinado limite $N$.

• Método: Escreve-se uma lista de números de 2 até $N$. O primeiro número (2) é primo. De seguida, riscam-se todos os seus múltiplos. O próximo número não riscado (3) é primo. Riscam-se os seus múltiplos, e assim sucessivamente, até atingir a raiz quadrada de $N$ ($\sqrt{N}$). Os números que sobrarem sem ser riscados são todos primos.

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