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Lecture 6: Introdução às Congruências (Aritmética Modular)

1. A Ideia Intuitiva: Aritmética do Relógio e do Calendário

Para percebermos congruências, vamos resolver um problema do quotidiano. Hoje é um determinado dia da semana (por exemplo, terça-feira). Que dia da semana será daqui a exatos 100 dias?

Não precisamos de contar 100 dias no calendário. A semana funciona num ciclo de 7 dias. Por isso, só nos interessa saber quantas “semanas completas” cabem em 100 dias e, mais importante, quantos dias sobram (o resto).

Usando o Algoritmo da Divisão: $100=7\cdot 14+2$ Isto significa que 100 dias equivalem a 14 semanas completas mais 2 dias. No nosso “relógio semanal”, avançar 100 dias tem exatamente o mesmo efeito que avançar apenas 2 dias. Se hoje for terça-feira, daqui a 100 dias será quinta-feira.

Na matemática discreta, dizemos que 100 e 2 são congruentes módulo 7, porque ambos deixam o mesmo resto quando divididos por 7. Escreve-se: $100\equiv 2(\mathrm{mod}7)$

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2. Definição Formal de Congruência

Sejam $a,b\in \mathbb{Z}$ e $n\in \mathbb{N}$ (com $n>1$). Dizemos que $a$ é congruente com $b$ módulo $n$ se e só se o $n$ dividir a diferença entre $a$ e $b$.

Definição: $a\equiv b(\mathrm{mod}n)⟺n|(a-b)$

O que isto significa na prática? Dizer que $n|(a-b)$ é matematicamente equivalente a dizer que $a$ e $b$ deixam exatamente o mesmo resto quando divididos por $n$. Por exemplo, $17\equiv 5(\mathrm{mod}4)$, porque tanto o 17 como o 5 deixam resto 1 quando divididos por 4 (e repara que $17-5=12$, que é divisível por 4).

Definição Alternativa (Muito Útil para Demonstrações): Pela definição de divisibilidade, $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$ é equivalente a dizer que existe um inteiro $k$ tal que $a-b=kn$, ou seja: $a=b+kn(k\in \mathbb{Z})$

3. Aplicação Prática: Identificar Quadrados Perfeitos

Uma das utilidades mais poderosas das congruências e dos restos da divisão é provar que certos números não podem ser quadrados perfeitos ($x^2$).

Vamos analisar os restos possíveis quando dividimos um número por 4. Pelo Algoritmo da Divisão, qualquer inteiro $n$ deixa um resto de $0,1,2$ ou $3$ quando dividido por $4$. Em linguagem de congruências: $n\equiv 0,1,2,\text{ ou }3(\mathrm{mod}4)$

O que acontece se elevarmos $n$ ao quadrado? Vamos testar todos os casos:

1. Se $n\equiv 0(\mathrm{mod}4)⟹n^2\equiv 0^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$
2. Se $n\equiv 1(\mathrm{mod}4)⟹n^2\equiv 1^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$
3. Se $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)⟹n^2\equiv 2^2\equiv 4\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ (pois 4 dividido por 4 dá resto 0)
4. Se $n\equiv 3(\mathrm{mod}4)⟹n^2\equiv 3^2\equiv 9\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ (pois 9 dividido por 4 dá resto 1)

Conclusão Brilhante: Um quadrado perfeito, quando dividido por 4, só pode deixar resto 0 ou resto 1. $\forall x\in \mathbb{Z},x^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)\vee x^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$

Exemplo de Exame

Pergunta: O número $7957438258273932485981242$ pode ser um quadrado perfeito? Resposta: Não! Sabemos que um número é divisível por 4 se os seus dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4. Os dois últimos algarismos são 42. Se dividirmos 42 por 4, o resto é 2 ($42=4\cdot 10+2$). Como vimos, nenhum quadrado perfeito pode deixar resto 2 quando dividido por 4. Logo, é impossível que este número gigante seja o quadrado de algum inteiro, sem precisarmos de calcular nenhuma raiz quadrada!

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4. Relação de Equivalência

A congruência módulo $n$ comporta-se exatamente como uma relação de igualdade ($=$), pois cumpre três propriedades fundamentais.

Teorema: A relação de congruência módulo $n$ é uma relação de equivalência (é Reflexiva, Simétrica e Transitiva).

Ver Demonstração das 3 propriedades

1. Reflexiva ($a\equiv a(\mathrm{mod}n)$): Qualquer número divide o zero, logo $n|0$. Como $0=a-a$, temos que $n|(a-a)$, o que por definição significa $a\equiv a(\mathrm{mod}n)$.

2. Simétrica (Se $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$, então $b\equiv a(\mathrm{mod}n)$): Se $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$, então $n|(a-b)$. Logo, existe $k\in \mathbb{Z}$ tal que $a-b=kn$. Multiplicando por $-1$, obtemos $b-a=(-k)n$. Como $-k$ também é inteiro, conclui-se que $n|(b-a)$, logo $b\equiv a(\mathrm{mod}n)$.

3. Transitiva (Se $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$ e $b\equiv c(\mathrm{mod}n)$, então $a\equiv c(\mathrm{mod}n)$): Sabemos que $n|(a-b)$ e $n|(b-c)$. Pela propriedade da combinação linear da divisibilidade, $n$ divide a soma destes dois termos. $(a-b)+(b-c)=a-c$. Como $n|(a-c)$, concluímos que $a\equiv c(\mathrm{mod}n)$. $■$

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5. Álgebra das Congruências (Operações Aritméticas)

A grande vantagem das congruências é que podemos somar, subtrair e multiplicar equações modulares como se fossem equações normais.

Teorema: Sejam $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ e $n\in \mathbb{N}$ ($n>1$). Se $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$ e $c\equiv d(\mathrm{mod}n)$, então são válidas as seguintes operações:

1. Adição: $a+c\equiv b+d(\mathrm{mod}n)$
2. Subtração: $a-c\equiv b-d(\mathrm{mod}n)$
3. Multiplicação: $a\cdot c\equiv b\cdot d(\mathrm{mod}n)$
4. Potenciação: $a^k\equiv b^k(\mathrm{mod}n)$ (para qualquer $k\in \mathbb{N}$)

Ver Demonstração (Adição e Multiplicação)

Prova da Adição: Sabemos que $n|(a-b)$ e $n|(c-d)$. Logo, $n$ divide a soma: $(a-b)+(c-d)$. Reorganizando os termos: $(a+c)-(b+d)$. Como $n|((a+c)-(b+d))$, por definição, $a+c\equiv b+d(\mathrm{mod}n)$. $■$

Prova da Multiplicação: Usando a definição alternativa, existem inteiros $k$ e $j$ tais que: $a=b+kn$ e $c=d+jn$. Multiplicando $a$ por $c$: $ac=(b+kn)(d+jn)$ $ac=bd+bjn+knd+kj{n}^2$ $ac-bd=n(bj+kd+kjn)$ Como $(bj+kd+kjn)$ é um número inteiro, temos que $n|(ac-bd)$, o que significa que $ac\equiv bd(\mathrm{mod}n)$. $■$

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4. O Cuidado com a Divisão (Lei do Corte)

Ao contrário da adição e multiplicação, NÃO podemos simplesmente “cortar” ou dividir ambos os lados de uma congruência.

Teorema (A Lei do Corte Modular): Se $ac\equiv bc(\mathrm{mod}n)$, só podemos “cortar” o $c$ se ele for primo entre si com o módulo $n$. Ou seja, se $ac\equiv bc(\mathrm{mod}n)$ e o $\text{mdc}(c,n)=1$, então $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$.

(Se o mdc não for 1, a congruência não se mantém! Por exemplo: $2\cdot 4\equiv 2\cdot 1(\mathrm{mod}6)$, mas $4\not\equiv 1(\mathrm{mod}6)$).

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