Lecture 4 md

Lecture 4: O Algoritmo de Euclides

O método prático e eficiente para calcular o MDC de dois inteiros positivos, sem necessidade de fatorizar os números (o que seria muito difícil para números grandes).

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1. Lema Fundamental (A Base Teórica)

O algoritmo baseia-se na propriedade de que o m.d.c. de dois números é igual ao m.d.c. de um deles e do resto da divisão do outro pelo primeiro.

Teorema (Lema de Euclides): Sejam $a,b\in \mathbb{Z}$ com $b>0$. Se aplicarmos o algoritmo da divisão tal que $a=bq+r$ (com $0\le r<b$), então: $\text{mdc}(a,b)=\text{mdc}(b,r)$

Porquê? Qualquer divisor comum a $a$ e $b$ divide também $r$ (pois $r=a-bq$). Qualquer divisor comum a $b$ e $r$ divide também $a$ (pois $a=bq+r$). Logo, o conjunto de divisores comuns é o mesmo.

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2. Descrição do Algoritmo

Para calcular $\text{mdc}(a,b)$ com $a\ge b>0$:

1. Dividimos $a$ por $b$ para obter o resto $r_1$.
   • Se $r_1=0$, então $\text{mdc}(a,b)=b$. Fim.
   • Se $r_1\ne 0$, passamos ao passo seguinte.
2. Dividimos $b$ por $r_1$ para obter o resto $r_2$.
   • Se $r_2=0$, então $\text{mdc}(a,b)=r_1$. Fim.
3. Repetimos o processo, dividindo sempre o divisor anterior pelo resto anterior.

Cadeia de divisões sucessivas:

$$\begin{array}{rlr}a& =b{q}_1+r_1& (0<r_1<b)\\ b& =r_1{q}_2+r_2& (0<r_2<r_1)\\ r_1& =r_2{q}_3+r_3& (0<r_3<r_2)\\ & ⋮& \\ r_{n-2}& =r_{n-1}{q}_n+r_n& (0<r_n<r_{n-1})\\ r_{n-1}& =r_n{q}_{n+1}+0& (\text{resto nulo!})\end{array}$$

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3. Teorema do Algoritmo de Euclides

O processo de divisões sucessivas termina eventualmente (pois os restos são inteiros positivos decrescentes: $b>r_1>r_2>\cdots \ge 0$).

Conclusão: O último resto não nulo ($r_n$) é o Máximo Divisor Comum de $a$ e $b$.

$\text{mdc}(a,b)=r_n$

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4. Exemplo Prático

Calcular o mdc(252, 198).

1. Dividir 252 por 198: $252=198\cdot 1+54$ (O resto é 54. Agora fazemos mdc(198, 54))

2. Dividir 198 por 54: $198=54\cdot 3+36$ (O resto é 36. Agora fazemos mdc(54, 36))

3. Dividir 54 por 36: $54=36\cdot 1+18$ (O resto é 18. Agora fazemos mdc(36, 18))

4. Dividir 36 por 18: $36=18\cdot 2+0$ (Resto zero! O processo termina).

Resultado: O último resto não nulo foi 18. Logo, $\text{mdc}(252,198)=18$.

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Nota para o futuro (Algoritmo Estendido)

Este processo pode ser “invertido” para escrever o m.d.c. como uma combinação linear dos números originais: $18=252x+198y$ Isto será fundamental para resolver Equações Diofantinas e calcular Inversos Modulares.

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