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Lecture 5: O Teorema Fundamental da Aritmética e Números Primos

1. O Teorema Fundamental da Aritmética (T.F.A.)

Este teorema garante que os números primos são os “blocos de construção” de todos os inteiros.

Teorema: Todo o número inteiro $n>1$ pode ser expresso como um produto de números primos de forma única, a não ser pela ordem dos fatores. $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k}$

Propriedade Chave: O Lema de Euclides

Para provar a unicidade do T.F.A., usa-se uma propriedade fundamental da divisibilidade com números primos. Lema: Se $p$ é um número primo e $p|(ab)$, então $p|a$ ou $p|b$. (Atenção: isto só é garantido se $p$ for primo. Por exemplo, $4|(2\cdot 6)$, mas o 4 não divide o 2 nem divide o 6).

Exemplo Prático do T.F.A.: A decomposição do número 120: $120=2\cdot 60=2\cdot 2\cdot 30=2\cdot 2\cdot 2\cdot 15=2^3\cdot 3\cdot 5$ Não existe nenhuma outra combinação de primos que resulte em 120.

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2. O Crivo de Eratóstenes

O Crivo de Eratóstenes é um algoritmo eficiente para encontrar todos os números primos menores ou iguais a um determinado número inteiro $N$.

O Algoritmo:

1. Escrevemos uma lista de todos os inteiros de 2 até $N$.
2. O primeiro número não marcado é o 2 (que é primo). Deixamos o 2 e riscamos da lista todos os seus múltiplos (4, 6, 8, 10…).
3. O próximo número não riscado é o 3 (primo). Riscamos todos os múltiplos de 3.
4. Repetimos o processo para o 5, o 7, etc.
5. Critério de Paragem: Só precisamos de testar e riscar múltiplos para os primos $p$ tais que $p\le \sqrt{N}$. Todos os números que sobrarem na lista sem serem riscados são primos.

Exemplo Prático (Primos até 30):

• $N=30$. Como $\sqrt{30}\approx 5.47$, só precisamos de riscar os múltiplos dos primos 2, 3 e 5.
• Múltiplos de 2 riscados: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.
• Múltiplos de 3 riscados: 9, 15, 21, 27.
• Múltiplos de 5 riscados: 25.
• Os números que sobram são garantidamente primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

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3. Teorema de Euclides (Infinitude dos Primos)

Teorema a Provar: Existem infinitos números primos. (Dica para estudo: Usa a demonstração por redução ao absurdo construindo um número $N$).

Ver Demonstração Passo a Passo

1. Suposição inicial: Vamos supor, por absurdo, que existe um número finito de primos. Podemos listá-los a todos: $p_1,p_2,p_3,\dots ,p_r$.
2. A Construção: Consideremos um novo número $N$, que é o produto de todos os primos da nossa lista, adicionado de 1: $N=(p_1\cdot p_2\cdot \cdots \cdot p_r)+1$
3. Análise de $N$: Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, este número $N$ deve ser divisível por algum número primo $q$.
4. A Contradição: O primo $q$ deve estar na nossa lista finita (pois assumimos que a lista tem todos os primos). No entanto, se dividirmos $N$ por qualquer primo da lista ($p_1,p_2,\dots$), o resto da divisão será sempre 1.
5. Conclusão: Logo, $q$ não pode ser nenhum dos primos da nossa lista. Isso significa que ou $N$ é um novo número primo, ou é divisível por um primo que não estava na lista. Em ambos os casos, a nossa suposição de que a lista era finita é falsa. Portanto, existem infinitos primos. $■$

Exemplo Prático da Construção de $N$: Se assumíssemos que os únicos primos no universo eram $\{2,3,5\}$. Construímos $N=(2\cdot 3\cdot 5)+1=30+1=31$. 31 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. De facto, 31 é um número primo novo que não estava na lista.

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