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Lecture 6: Congruências Lineares e Inversos Modulares

1. Congruências Lineares ($ax\equiv b(\mathrm{mod}n)$)

Uma congruência linear é uma equação onde queremos descobrir o valor de $x$. Para isolar o $x$, não podemos simplesmente “dividir” por $a$. Precisamos de multiplicar ambos os lados da equação pelo inverso multiplicativo de $a$ módulo $n$.

Condição de Existência: A equação $ax\equiv b(\mathrm{mod}n)$ tem solução se e só se o $\text{mdc}(a,n)$ dividir $b$. Para encontrar o inverso de $a$ (quando $\text{mdc}(a,n)=1$), utilizamos o Algoritmo de Euclides Estendido.

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2. Exercício Prático (Algoritmo de Euclides Estendido)

mais_TN.pdf

Pergunta: Resolve a congruência linear $81x\equiv 37(\mathrm{mod}95)$.

Ver Resolução Passo a Passo

Passo 1: Verificar se existe inverso (Algoritmo de Euclides) Calculamos o $\text{mdc}(81,95)$: $95=81\cdot 1+14$ $81=14\cdot 5+11$ $14=11\cdot 1+3$ $11=3\cdot 3+2$ $3=2\cdot 1+1$ Como o último resto não nulo é 1, o $\text{mdc}$ é 1 e o inverso existe.

Passo 2: Algoritmo Estendido (Trabalhar de baixo para cima) Expressamos o 1 como combinação linear de 81 e 95 a partir das equações anteriores: $1=3-2\cdot 1$ $1=3-(11-3\cdot 3)=4\cdot 3-11$ $1=4\cdot (14-11\cdot 1)-11=4\cdot 14-5\cdot 11$ $1=4\cdot 14-5\cdot (81-14\cdot 5)=29\cdot 14-5\cdot 81$ $1=29\cdot (95-81\cdot 1)-5\cdot 81=29\cdot 95-34\cdot 81$

Passo 3: Encontrar o Inverso Analisando a equação módulo 95, o termo múltiplo de 95 desaparece: $-34\cdot 81\equiv 1(\mathrm{mod}95)$ O inverso de 81 é -34. Para passar a um valor positivo dentro do módulo, somamos 95: $-34+95=61$.

Passo 4: Resolver a Equação Original Multiplicamos ambos os lados da equação original pelo inverso descoberto (61): $81x\equiv 37(\mathrm{mod}95)$ $61\cdot 81x\equiv 61\cdot 37(\mathrm{mod}95)$ $x\equiv 2257(\mathrm{mod}95)$

Passo 5: Simplificar (Menor Resto Positivo) Dividimos 2257 por 95 para encontrar o resto e simplificar a resposta: $2257=95\cdot 23+72$ Solução Final: $x\equiv 72(\mathrm{mod}95)$.

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