Lecture 3 md

Lecture 3: Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum

1. Máximo Divisor Comum (MDC)

Definição: Sejam $a$ e $b$ dois inteiros, com pelo menos um deles não nulo. O máximo divisor comum de $a$ e $b$, denotado por $\text{mdc}(a,b)$ ou simplesmente $(a,b)$, é o inteiro $d$ tal que:

1. $d|a$ e $d|b$ ($d$ é divisor comum).
2. Se $c|a$ e $c|b$, então $c\le d$ ($d$ é o maior de todos os divisores comuns).

Nota: $\text{mdc}(a,b)=\text{mdc}(|a|,|b|)$, por isso geralmente trabalhamos com inteiros não negativos.

Primos entre si (Coprimos): Dois inteiros $a$ e $b$ dizem-se primos entre si se $\text{mdc}(a,b)=1$.

Propriedades do MDC:

• $\text{mdc}(a,b)=\text{mdc}(b,a)$
• $\text{mdc}(a,0)=|a|$ (pois $a$ divide 0 e é o maior divisor de si mesmo).
• Se $a|b$, então $\text{mdc}(a,b)=|a|$.

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2. Mínimo Múltiplo Comum (mmc)

Definição: Sejam $a,b\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$. O mínimo múltiplo comum de $a$ e $b$, denotado por $\text{mmc}(a,b)$, é o menor inteiro positivo que é múltiplo de $a$ e de $b$.

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3. Relação entre MDC e mmc

Existe uma relação fundamental que conecta estes dois conceitos, permitindo calcular um a partir do outro.

Teorema: Para quaisquer inteiros positivos $a$ e $b$: $\text{mdc}(a,b)\cdot \text{mmc}(a,b)=a\cdot b$

Para inteiros gerais (podendo ser negativos): $\text{mdc}(a,b)\cdot \text{mmc}(a,b)=|a\cdot b|$

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4. Cálculo do mdc e mmc usando Fatorização Prima

Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, podemos expressar $a$ e $b$ através dos seus fatores primos. Se considerarmos os mesmos primos $p_i$ para ambos (usando expoentes zero caso um primo não divida um dos números), temos: $a=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k}$ $b=p_1^{{\beta }_1}{p}_2^{{\beta }_2}\dots p_k^{{\beta }_k}$

Com esta representação, podemos calcular diretamente:

Para o MDC (Máximo Divisor Comum): Escolhemos os fatores comuns com o menor expoente: $\text{mdc}(a,b)=p_1^{\min ({\alpha }_1,{\beta }_1)}{p}_2^{\min ({\alpha }_2,{\beta }_2)}\dots p_k^{\min ({\alpha }_k,{\beta }_k)}$

Para o mmc (Mínimo Múltiplo Comum): Escolhemos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente: $\text{mmc}(a,b)=p_1^{\max ({\alpha }_1,{\beta }_1)}{p}_2^{\max ({\alpha }_2,{\beta }_2)}\dots p_k^{\max ({\alpha }_k,{\beta }_k)}$

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